Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) avec : \(\forall i,j\), \(a_{ij} > 0\). On munit \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) de la relation d’ordre : \[(X \geq Y) \Leftrightarrow (\forall i,\ x_i \geq y_i),\] et on pose pour \(X \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\), \(X \geq 0\), \(X\neq 0\) : \[\begin{aligned} R(X) &= \sup\{ r \geq 0 \text{ tq }AX \geq rX\} ,\\ R &= \sup\{ R(X) \text{ tq }X \geq 0, X \neq 0\} . \end{aligned}\]

  1. Montrer que \(R\) est fini et qu’il existe \(X_{0} \in \mathbb{R}^n\) tel que \(R(X_{0} ) = R\).

  2. Montrer que toutes les coordonnées de \(X_{0}\) sont strictement positives.

  3. On pose \(AX_{0} = RX_{0} + Y\). Montrer que \(Y = 0\).

  4. Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(A\). Montrer que \(|\lambda | \leq R\), et \((|\lambda | = R) \Leftrightarrow (\lambda = R)\).

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[ID: 4645] [Date de publication: 11 avril 2024 17:50] [Catégorie(s): Elements propres ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Rayon spectral d’une matrice à coefficients positifs
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:50

  1. Compacité.

  2. Si \(x_{1} = 0\), on pose \(Y = \begin{pmatrix}\alpha \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\) :

    \(R(Y) \geq \min\Bigl( a_{11} + \dfrac {a_{12}x_{2} +\dots+ a_{1n}x_n}{\alpha }, \dfrac {\alpha a_{21}}{x_{2}} + R(X_{0} ),\dots, \dfrac {\alpha a_{n1}}{x_n} + R(X_{0} ) \Bigr) > R(X_{0} )\) pour \(\alpha > 0\) assez petit.

  3. Si \(y_{1} > 0\), on pose \(X = X_{0} + \begin{pmatrix}\alpha \\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}\) : \(AX - RX = Y + \alpha \begin{pmatrix}a_{11}-R\\ a_{21}\\\vdots \\ a_{n1}\end{pmatrix}\), donc pour \(\alpha > 0\) assez petit, \(R(X) > R\).

  4. Inégalité triangulaire.

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