Soient \(A \in \mathcal M _{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal M _{p,n}(\mathbb{K})\). On note \(C = I_n - AB\) et \(D = I_p - BA\) (\(I_n,I_p =\) matrices unité d’ordres \(n\) et \(p\)).

  1. Montrer que si \(C\) est inversible, alors \(D\) l’est aussi (résoudre \(DX = 0\)).

  2. Le cas échéant, exprimer \(D^{-1}\) en fonction de \(A,B,C^{-1}\).

  3. En déduire que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres non nulles. Examiner le cas de la valeur propre \(0\) si \(n = p\).

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[ID: 4643] [Date de publication: 11 avril 2024 17:50] [Catégorie(s): Elements propres ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Valeurs propres de \(AB\) et \(BA\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:50

  1. \(D^{-1} = BC^{-1}A + I_p\).

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