Soit \(A = \begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans \(\mathcal M _2(\mathbb{K})\) : \(X^2 + X = A\).

Soit \(X\) une solution et \(\varphi _A\), \(\varphi _X\) les endomorphismes de \(\mathbb{K}^2\) de matrices \(A\) et \(X\) dans la base canonique.

  1. Montrer que \(X\) ou \(X+I\) n’est pas inversible.

  2. Si \(X\) n’est pas inversible, montrer que \(X\) est proportionnelle à \(A\) (on montrera que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _X = \mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _A\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _X = \mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _A\)).

  3. Résoudre l’équation.

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[ID: 4604] [Date de publication: 11 avril 2024 17:27] [Catégorie(s): Equations matricielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Équation \(X^2 + X = A\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:27

  1. \(X\in \{ -A,{1/2}A,A-I,-{1/2}A - I\}\) si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\), \(X\in \{ -A,A-I\}\) si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})=2\).

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