Soient \(f_{1},\dots,f_p\), \(p\) formes linéaires sur \(\mathbb{R}^n\) telles que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f_{1}, \dots, f_p) = n\).

En considérant le produit scalaire : \((x|y) = \sum_{i=1}^p f_i(x)f_i(y)\), démontrer qu’il existe \(n\) formes linéaires \(g_{1}, \dots, g_n\) telles que :

\[\forall x\in \mathbb{R}^n ,\ \sum_{i=1}^p f_i(x)^2 = \sum_{i=1}^n g_i(x)^2 .\]

exemple : réduire \(x^2 + (x+y)^2 + (x+2y)^2\)


Barre utilisateur

[ID: 4596] [Date de publication: 11 avril 2024 15:33] [Catégorie(s): Formes quadratiques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Réduction en carrés d’une forme quadratique
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:33

\(x^2 + (x+y)^2 + (x+2y)^2 = (\sqrt 3(x-y))^2 + (\sqrt 2y)^2\).


Documents à télécharger

Réduction en carrés d’une forme quadratique
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice