Soit \(E = \mathbb{R}_n[X]\) et \((P|Q) = \int _{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).

  1. Montrer que \(E\), muni de \((\ |\ )\), est un espace euclidien.

  2. Soit \(K = \mathbb{R}_{n-1}[X]^\perp\) et \(P\in K\setminus \{ 0\}\). Quel est le degré de \(P\) ?

  3. Soit \(\Phi:x \mapsto \int _{t=0}^1 P(t)t^x\,d t\). Montrer que \(\Phi\) est une fonction rationnelle.

  4. Trouver \(\Phi\) à une constante multiplicative près.

  5. En déduire les coefficients de \(P\).

  6. En déduire une base orthogonale de \(E\).

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[ID: 4594] [Date de publication: 11 avril 2024 15:33] [Catégorie(s): Polynômes orthogonaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Polynômes orthogonaux
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:33

  1. \(\int _{t=0}^1 t^kt^x\,d t = 1/(k+x+1)\).

  2. \(\Phi\) a pour pôles au plus simples \(-1,-2,\dots,-n-1\) et pour racines \(0,1,\dots,n-1\). Comme \(\Phi(x)\to _{x\to \infty }0\) on a donc \(\Phi(x) = \lambda \dfrac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{(x+1)\dots(x+n+1)}\).

  3. \(a_k =\) résidu de \(\Phi\) en \(-k-1 = (-1)^{n+k}\lambda \dfrac{(n+k)!}{(k!)^2 (n-k)!}\).

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