Soit un réel \(\alpha \in ]0,1[\) et une suite \((u_n)\) convergeant vers une limite \(l\in \mathbb{R}\). Étudier la suite de terme général \[v_n = \sum_{k=0}^n \alpha^k u_{n-k}\]


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[ID: 380] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:54] [Catégorie(s): Avec les définitions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 581
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:54

Étudions d’abord le cas où \((u_n)\) est constante : \(\forall n \in \mathbb N\), \(u_n = a\)\(a\in\mathbb{R}\). On obtient alors facilement que pour tout \(n\in \mathbb N\), \(v_n = a \dfrac{1 - \alpha^{n+1}}{1 - \alpha}\) et \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \dfrac{a}{1-\alpha}\). Ce cas particulier nous invite à conjecturer que que si \((u_n)\) converge vers \(l\), la suite \(\left(v_n\right)\) converge vers \(l / (1 - \alpha)\). Écrivons pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n = l + \varepsilon_n\) avec \(\varepsilon_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Alors pour \(n \in \mathbb N\), \[v_n = l \dfrac{1 - \alpha^{n+1}}{1 - \alpha} + \sum_{k=0}^n \alpha^k \varepsilon_{n-k}\] Définissons la suite de terme général \[\theta_n = \sum_{k=0}^n \alpha^k \varepsilon_{n-k}\] et montrons que \(\theta_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Cela montrera que la suite \((v_n)\) converge vers \(l / (1 - \alpha)\).

Coupons, pour \(n\in\mathbb{N}\), la somme en deux sous-sommes: \[\lvert \theta_n \rvert \leqslant\sum_{k=0}^{n-N} \lvert \alpha^k \varepsilon_{n-k} \rvert + \sum_{k=n-N+1}^n \lvert \alpha^k \varepsilon_{n-k} \rvert\]

Soit \(\varepsilon> 0\). Posons \(\widetilde{\varepsilon} = \varepsilon\left(1-\alpha\right)/ {2} > 0\). Comme \(\varepsilon_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(N \in \mathbb N\), tel que \(\forall k \geqslant N\), \(\lvert \varepsilon_k \rvert \leqslant\widetilde{\varepsilon}\).

Donc pour la première somme, si \(n\geqslant N\) : \[\sum_{k=0}^{n-N} \lvert \alpha^k \varepsilon_{n-k} \rvert \leqslant\widetilde{\varepsilon}\dfrac{1 - \alpha^{n-N+1}}{1 - \alpha}\leqslant\dfrac{\widetilde{\varepsilon}}{1 - \alpha} .\]

En posant \(M = \max(\lvert \varepsilon_0 \rvert , \dots, \lvert \varepsilon_{N-1} \rvert )\), on majore la deuxième somme : \[\sum_{k=n-N+1}^n \lvert \alpha^k \varepsilon_{n-k} \rvert \leqslant M \sum_{k=n-N+1}^n \alpha^k = \dfrac{M}{\alpha^{N-1}} \alpha^{n} \dfrac{1 - \alpha^{N}}{1 - \alpha} \leqslant\dfrac{M}{\alpha^{N-1}(1 - \alpha)} \alpha^{n}\] car \(\alpha\in\left]0,1\right[\). La suite \(\left(\dfrac{M}{\alpha^{N-1}} \alpha^n\right)\) converge vers \(0\) (car c’est une suite géométrique de raison \(\alpha\in\left]0,1\right[\)) donc il existe \(N' \in \mathbb N\) tel que \(\forall n\geqslant N'\), \(\dfrac{M\alpha^n}{\alpha^{N-1}} \leqslant\widetilde{\varepsilon}\). Posons \(N_1 = \max(N, N')\) et soit \(n > N_1\).

Il vient finalement, \[\lvert \theta_n \rvert \leqslant \dfrac{\widetilde{\varepsilon}}{1-\alpha}+\dfrac{\widetilde{\varepsilon}}{1-\alpha}= \varepsilon.\]


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