Soit une suite réelle \((u_n)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N\), \(u_n \in \mathbb{Z}\). Montrer que si la suite \((u_n)\) converge, alors elle est constante à partir d’un certain rang.
( ).
On pourra envisager la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_{n+1}-u_n\).

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[ID: 378] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:54] [Catégorie(s): Avec les définitions ] [ Nombre commentaires: 2] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 788
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 14:54

La suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_{n+1}-u_n\) converge vers \(0\). On pose \(\varepsilon={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). Il existe \(N\in \mathbb N\) tel que pour tout \(n\geqslant N\), \[-\dfrac{1}{2} \leqslant v_n \leqslant+\dfrac{1}{2}.\] Mais alors, pour \(n\geqslant N\), \(v_n = 0\), puisque zéro est le seul entier compris entre \(-1/2\) et et \(1/2\). La suite \((u_n)\) est donc constante à partir du rang \(N\).

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