On considère une suite \((u_n)\) qui converge vers \(0\). On définit la suite \((v_n)\) de terme général : \[v_n = \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n ku_k\] Montrer que \((v_n)\) converge vers \(0\).


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[ID: 376] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:54] [Catégorie(s): Avec les définitions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 152
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:54

Soit \(\varepsilon>0\). Comme \((u_n)\) converge vers \(0\), il existe un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que si \(n\geqslant N_1\) alors \(\left|u_n\right|\leqslant\varepsilon/2\). Par application de l’inégalité triangulaire, on peut écrire : \[\begin{aligned} \left|v_n\right|&=&\dfrac{1}{n^2}\left| \sum_{k=1}^{N_1} ku_k + \sum_{k=N_1+1}^n ku_k \right|\\ &\leqslant& \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{N_1} k\left|u_k \right| + \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=N_1+1}^n k\dfrac{\varepsilon}{2} \\ &\leqslant& \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{N_1} k\left|u_k \right| + \dfrac{\varepsilon}{2}\end{aligned}\] car \(\sum_{k={N_1}+1}^n k \leqslant n^2\). De plus, par opérations sur les limites, \(\dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{N_1} k\left|u_k\right|\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Il existe donc un rang \(N_2\in\mathbb{N}^*\) tel que si \(n\geqslant N_2\) alors \(\dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{N_1} k\left|u_k\right| \leqslant\varepsilon/2\). Posons \(N=\max\left(N_1,N_2\right)\). Soit \(n\geqslant N\). On a alors \(\left|v_n\right| \leqslant\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon\), ce qui prouve que \(v_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).


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