En utilisant les définitions et , montrer que :

  1. \(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n})_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers \(0\)·

  2. \(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2})_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers \(0\)·

  3. \(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^n})_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(0\)·

  4. \((n^2)_{n\in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\).

  5. \((\sqrt n)_{n\in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\).

  6. \((\ln n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) tend vers \(+\infty\).


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[ID: 374] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:54] [Catégorie(s): Avec les définitions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 219
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:54
  1. Voir l’exemple page .

  2. Soit \(\varepsilon>0\). On cherche un rang \(N\in\mathbb{N}^*\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(1/n^2\leqslant\varepsilon\) ou de manière équivalente \(1/n\leqslant\sqrt \varepsilon\). Posons \(N=E\left(1/\sqrt\varepsilon\right)+1\). On a \(1/N\leqslant\sqrt \varepsilon\). Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\geqslant N\). On a bien : \(1/n^2\leqslant 1/N^2 \leqslant\varepsilon\) et donc \(1/n^2 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  3. Soit \(\varepsilon>0\). On cherche un rang \(N\in\mathbb{N}^*\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(1/2^n\leqslant\varepsilon\) ou de manière équivalente \(n\geqslant{\scriptstyle\ln \varepsilon\over\scriptstyle \ln \left(1/2\right)}\). Posons \(N=E\left({\scriptstyle-\ln \varepsilon\over\scriptstyle \ln \left(1/2\right)}\right)+1\) (on peut supposer \(\varepsilon\in\left]0,1\right[\). Soit \(n\in\mathbb{N}^*\) tel que \(n\geqslant N\). Alors \(1/2^n \leqslant 1/2^N < \varepsilon\) et donc \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\)

  4. Soit \(M\in \mathbb{R}\). On peut choisir \(M\) positif sans que cela ne particularise la démonstration. On cherche un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(n^2\geqslant M\) ou de manière équivalente \(n\geqslant\sqrt{M}\). Posons \(N=E\left(\sqrt{M}\right)+1\). On a \(N^2\geqslant M\). Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\geqslant N\). On a bien : \(n^2\geqslant N^2 \geqslant M\) et la suite tend donc vers \(+\infty\).

  5. Soit \(M\in \mathbb{R}\). On cherche un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(\sqrt{n}\geqslant M\) ou de manière équivalente \(n\geqslant{M}^2\). Posons \(N=E\left({M}^2\right)+1\). On a \(\sqrt{N}\geqslant M\). Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\geqslant N\). On a bien : \(\sqrt{n}\geqslant\sqrt{N} \geqslant M\) et la suite tend donc vers \(+\infty\).

  6. Soit \(M\in \mathbb{R}\). On cherche un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(\ln{n}\geqslant M\) ou de manière équivalente \(n\geqslant e^{M}\). Posons \(N=E\left(e^{M}\right)+1\). On a \(\ln{N}\geqslant M\). Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\geqslant N\). On a bien : \(\ln{n}\geqslant\ln{N} \geqslant M\) et la suite tend donc vers \(+\infty\).


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