Soient \(x_{1},\dots,x_n\) des vecteurs d’un ev euclidien \(E\), et \(G(x_{1},\dots,x_n)\) leur matrice de Gram.

  1. Montrer que \(\mathop{\rm rg}\nolimits G(x_{1},\dots,x_n) = \mathop{\rm rg}\nolimits(x_{1},\dots,x_n)\).

  2. Montrer que \(\det G(x_{1},\dots,x_n)\) est inchangé si on remplace \(x_k\) par \(x_k - \sum_{i\neq k} \lambda _ix_i\).

  3. Soit \(F = \mathop{\rm vect}\nolimits(x_{1},\dots,x_n)\) et \(x\in E\). On note \(d(x,F) = \min(\left\|x-y\right\|, y\in F)\).

    Montrer que \(d(x,F)^2 = \dfrac{\det G(x_{1},\dots,x_n, x)}{\det G(x_{1},\dots,x_n)}\).


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[ID: 4588] [Date de publication: 11 avril 2024 15:30] [Catégorie(s): Matrices de Gram ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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