Soit \(E\) un espace préhilbertien et \(u_{1},\dots,u_n \in E\). On note \(G = (g_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) la matrice de Gram de ces vecteurs (\(g_{ij} = (u_i|u_j)\)).

  1. On suppose \(E\) de dimension finie, rapporté à une base orthonormée \(\mathcal B = (e_{1},\dots,e_p)\). Exprimer \(G\) en fonction de \(M = \mathop{\rm Mat}\nolimits_\mathcal B (u_{1},\dots,u_n)\).

  2. En déduire que \(\det(G)\) est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteurs \(u_i\) sont liés.

  3. Montrer le même résultat sans supposer que \(E\) est de dimension finie.

  4. Examiner le cas particulier \(n=2\).

  5. Application : Le tétraèdre \(ABCD\) est tel que \(AB=AC=AD=1\) et \((AB,AC) \equiv \frac \pi 4\), \((AB,AD) \equiv \frac \pi 3\), \((AC,AD) \equiv \frac\pi 2\). Calculer son volume.

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[ID: 4584] [Date de publication: 11 avril 2024 15:30] [Catégorie(s): Matrices de Gram ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Déterminant de Gram
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:30

  1. \(\frac1{12}\).

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