Soit \(E\) un ev euclidien et \(u_{1},\dots,u_n\) une famille de vecteurs vérifiant : \(\forall i\neq j\), \((u_i|u_j) < 0\).

  1. On suppose \((u_{1},\dots,u_n)\) libre. Soit \((e_{1},\dots,e_n)\) la famille de Schmidt associée et \(M\) la matrice de passage de \((u_{1},\dots,u_n)\) à \((e_{1},\dots,e_n)\). Montrer que \(M\) est à coefficients positifs.

  2. Dans le cas général, démontrer par récurrence sur \(n\) que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(u_{1},\dots,u_n) \geq n-1\).

  3. Si \(\mathop{\rm rg}\nolimits(u_{1},\dots,u_n) = n-1\), démontrer que toute famille de \(n-1\) vecteurs extraite de \((u_{1},\dots,u_n)\) est libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives.


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[ID: 4576] [Date de publication: 11 avril 2024 15:23] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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