Soit \(E\) un ev euclidien. On pose pour \(x \neq 0\) : \(i(x) = \dfrac{x}{\left\|x\right\|^2 }\).

  1. Montrer que \(i\) est une involution et conserve les angles non orientés de vecteurs.

  2. Vérifier que : \(\forall x,y\in E \setminus \{ 0\}\), \(\left\|i(x) - i(y)\right\| = \dfrac{\left\|x - y\right\|}{\left\|x\right\|\left\|y\right\|}\).

  3. Déterminer l’image par \(i\) :

    1. d’un hyperplan affine ne passant pas par \(0\).

    2. d’une sphère passant par \(0\).

    3. d’une sphère ne passant pas par \(0\).


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[ID: 4571] [Date de publication: 11 avril 2024 15:23] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Inversion
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:23
  1. Élever au carré.

    1. \((x|u) = 1 \Leftrightarrow (i(x)|u-i(x)) = 0\) : sphère passant par \(0\).

    2. hyperplan ne passant pas par \(0\).

    3. \(\left\|x-a\right\|^2 = R^2 \Leftrightarrow \left\|x -\dfrac{a}{\left\|a\right\|^2 -R^2 }\right\|^2 = \dfrac{R^2 }{(\left\|a\right\|^2 -R^2 )^2 }\) : sphère ne passant pas par \(0\).


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