Soit \(E\) un espace euclidien, \(\mathcal B = (u_{1},\dots,u_n)\) une base de \(E\) et \(\mathcal B ' = (e_{1},\dots,e_n)\) la base orthonormée déduite de \(\mathcal B\) par la méthode de Schmidt.

On note \(G_n\) le déterminant de Gram de \(u_{1},\dots,u_n\), et \(\Delta _{i,n}\) le cofacteur de \((u_i|u_n)\) dans \(G_n\).

Montrer que \(e_n = \dfrac1{\sqrt {G_{n-1}G_n}}\sum_{i=1}^n \Delta _{i,n}u_i\).

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[ID: 4568] [Date de publication: 11 avril 2024 15:08] [Catégorie(s): Algorithme de Gram-Schmidt ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Coordonnées des vecteurs de Schmidt
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:08

Soit \(X\) la matrice de \(e_n\) dans \(\mathcal B\). On a \(GX = \begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\lambda \end{pmatrix}\) et \({ }^tXGX = \lambda x_p = 1\). On applique alors les formules de Cramer.

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