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Décomposition \(QR\)
Soit \(M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, \(P\), et une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, \(T\), uniques telles que \(M = PT\).
Application : inégalité de Hadamard. Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, \((e_{1},\dots,e_n)\) une base orthonormée, et \(u_{1},\dots,u_n\) des vecteurs quelconques.
Démontrer que \(|\det_{(e_i)}(u_j)| \leq \prod _j\left\|u_j\right\|\). Étudier les cas d’égalité.
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[ID: 4566] [Date de publication: 11 avril 2024 15:08] [Catégorie(s): Algorithme de Gram-Schmidt ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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