Soit \(P\in \mathbb{R}[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que \(\int _{t=-1}^1 P^2 (t)\,d t = 1\).

Montrer que \(\sup\{ |P(x)| \text{ tq }-1\leq x\leq 1\} \leq 2\sqrt 2\).

Indication : pour \(a\in \mathbb{R}\) montrer qu’il existe \(P_a\in \mathbb{R}_{3} [X]\) tel que : \(\forall P\in \mathbb{R}_{3} [X]\), \(P(a) = \int _{t=-1}^1 P(t)P_a(t)\,d t\). Calculer explicitement \(P_a\), et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.


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[ID: 4554] [Date de publication: 11 avril 2024 15:05] [Catégorie(s): Inégalité de Cauchy-Schwarz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Norme uniforme sur \(\mathbb{R}_{3} [X]\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:05

\(P_a(t) = \frac{3}{8}(3 -5t^2 -5a^2 +15a^2 t^2 ) +\frac{5}{8}at(15-21t^2 -21a^2 +35a^2 t^2 )\),

\(8\left\|P_a\right\|^2 = 9 + 45a^2 - 165a^4 + 175a^6\) est maximal pour \(a=\pm 1\) et \(\left\|P_a\right\| = 2\sqrt 2\).


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