Soit \(E\) l’ensemble des fonctions : \([a,b] \to \mathbb{R}^{+*}\) continues et \(\Phi : E \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \int _a^b f\times \int _a^b 1/f.\)

Montrer que \(\min\{ \Phi(f)\text{ tq }f\in E\} = (b-a)^2\) et chercher les fonctions réalisant le minimum.


Barre utilisateur

[ID: 4552] [Date de publication: 11 avril 2024 15:05] [Catégorie(s): Inégalité de Cauchy-Schwarz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Inégalité de Cauchy-Schwarz
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 16 avril 2024 10:30

On considère pour \(f,g\in G=\mathcal{C}^{0}([a,b],\mathbb{R})\) le produit scalaire \(\left<f|g\right>=\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t\).

Par inégalité de Cauchy-Schwarz, pour \(f\in E\), on a:

\[\left<\sqrt{f}|1/{ \sqrt{f} }\right>^2 \leqslant\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\int_{a}^{b} 1/f(t)\,\textrm{d}t\] avec égalité si et seulement si \(\sqrt{f}\) et \(1/\sqrt{f}\) sont proportionnelles.

Cela donne que \((b-a)^2\) est un minorant de \(\Phi(E)\) et qu’il est atteint si \(f\) et \(1/f\) sont colinéaires c’est-à-dire si et seulement si \(f\) est constante.


Documents à télécharger

L'exercice