Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p\), \(q\) deux projections orthogonales. Montrer que \(p\) et \(q\) commutent si et seulement si \((\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits p\) et \((\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\) sont orthogonaux.


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[ID: 4550] [Date de publication: 11 avril 2024 15:00] [Catégorie(s): Projections orthogonales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Projecteurs commutant
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:01

Si \(p\circ q = q\circ p\) : Soient \(x\in (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits p\) et \(y\in (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\).

Alors \(p\circ q(x) = q(x) \in \mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\), donc \((q(x)|y)=(x|y) = 0\).

Si \(A = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits p\) et \(B = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\) sont orthogonaux : Alors \(\mathop{\rm Im}\nolimits p = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)\buildrel\perp \over\oplus A\), \(\mathop{\rm Im}\nolimits q = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)\buildrel\perp \over\oplus B\), et \(E = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)\buildrel\perp \over\oplus A \buildrel\perp \over\oplus B \buildrel\perp \over\oplus(\mathop{\rm Im}\nolimits p^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q^\perp )\). Par décomposition, on obtient \(p\circ q = q \circ p ={ }\) la projection orthogonale sur \(\mathop{\rm Im}\nolimits p \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\).


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