Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n>1\). Trouver toutes les fonctions \(f\) de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) continues telles que \(u\perp v\Rightarrow f(u+v)=f(u)+f(v)\).


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[ID: 4542] [Date de publication: 11 avril 2024 14:58] [Catégorie(s): Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

X MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 14:58

\(f\) linéaire et \(f = x\mapsto \left\|x\right\|^2\) conviennent et l’ensemble \(\mathcal E\) des fonctions \(f\) vérifiant la propriété est stable par combinaison linéaire donc toute fonction de la forme \(x\mapsto l (x) + a\left\|x\right\|^2\) avec \(l \in E^*\) et \(a\in \mathbb{R}\) convient. On montre que ce sont les seules : Soit \(f\in \mathcal E\) l’on décompose en sa partie paire \(g\) et sa partie impaire \(h\). Alors \(g,h\in \mathcal E\).

Soient \(x,y\in E\) avec \(\left\|x\right\|=\left\|y\right\|\) et \(x\perp y\). On a \(h(x\pm y) = h(x)\pm h(y)\) et \(h(2x)=h(x+y)+h(x-y)=2h(x)\). Ensuite, \(h(2x)+h(x)-h(y) = h(2x+y)+h(x-2y)=h(3x-y) =h(3x)-h(y)\) d’où \(h(3x) = 3h(x)\) et de proche en proche \(h(kx) = kh(x)\) pour \(k\in \mathbb{N}\) puis pour \(k\in \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\) successivement vu la continuité de \(f\). En prenant une base \((e_{1},\dots,e_n)\) orthonormale on a \(h(x_{1}e_{1}+\dots+x_ne_n) = x_{1}h(e_{1})+\dots+x_nh(e_n)\) pour tous \(x_{1},\dots,x_n\) réels donc \(h\) est linéaire.

Soient à présent \(x,y\in E\) avec \(\left\|x\right\|=\left\|y\right\|\) alors \(g(x+y) + g(x-y) = g(2x)\) et \(g(x+y) + g(y-x) = g(2y)\) d’où \(g(2x) = g(2y)\). Ainsi \(g\) est constante sur les sphères de centre \(0\). On écrit \(g(x) = \varphi (\left\|x\right\|^2 )\) avec \(\varphi :\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) prolongée à \(\mathbb{R}\) par imparité (\(g(0) = 0\) de manière évidente).

On a alors \(\varphi (a^2 +b^2 ) = g(ae_{1}+be_{2}) = g(ae_{1})+g(be_{2}) = \varphi (a^2 )+\varphi (b^2 )\) d’où l’on conclut que \(\varphi\) est linéaire.


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