Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in \mathcal L (E)\) tel que \(\forall x\in E\), \(\left\|u(x)\right\| \leq \left\|x\right\|\).

Montrer que \(E = \mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\mathop\oplus \limits^\perp \mathop{\rm Im}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\).


Barre utilisateur

[ID: 4540] [Date de publication: 11 avril 2024 14:58] [Catégorie(s): Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\left\|u(x)\right\| \leq \left\|x\right\|\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 14:58

Soient \(x\in \mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\) et \(y=u(z)-z\in \mathop{\rm Im}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\). On a \(y = u(z+\lambda x)-(z+\lambda x)\) d’où : \[\left\|z+\lambda x\right\|^2 \geq \left\|u(z+\lambda x)\right\|^2 = \left\|z+\lambda x\right\|^2 + 2\lambda (x|y) + 2(z|y) + \left\|y\right\|^2 .\] En faisant tendre \(\lambda\) vers \(\pm \infty\) on obtient \((x|y) = 0\) et on conclut avec le thm. du rang.


Documents à télécharger

\(\left\|u(x)\right\| \leq \left\|x\right\|\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice