Soit \(E=\mathcal C ^1 ([0,1],\mathbb{R})\) et \(\varphi (f,g)=\int _{[0,1]} fg+f'g'\).

  1. Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire.

  2. Soit \(V=\{ f\in E \text{ tq }f(0)=f(1)=0\}\) et \(W=\{ f\in E \text{ tq }f''=f\}\). Montrer que \(V\) et \(W\) sont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale sur \(W\).

  3. Soit \(E_{\alpha \beta }=\{ f\in E \text{ tq }f(0)=\alpha\) et \(f(1)=\beta \}\). Déterminer \(\inf_{f\in E_{\alpha \beta }} \int _{[0,1]} f^2 +f'^2\).


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[ID: 4538] [Date de publication: 11 avril 2024 14:58] [Catégorie(s): Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 14:58
  1. \(\pi (f)(t) = f(0)\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits(1-t)}{\mathop{\rm sh}\nolimits(1)} + f(1)\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits(t)}{\mathop{\rm sh}\nolimits(1)}.\)

  2. L’inf est atteint pour la fonction \(f\in W\) telle que \(f(0) = \alpha\) et \(f(1) = \beta\), soit \(f(t) = \alpha \dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits(1-t)}{\mathop{\rm sh}\nolimits(1)} + \beta \dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits(t)}{\mathop{\rm sh}\nolimits(1)}\) et inf \(=\dfrac{(\alpha ^2 +\beta ^2 )\mathop{\rm ch}\nolimits(1) - 2\alpha \beta }{\mathop{\rm sh}\nolimits(1)}\).


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