Soit \(E = \mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\) muni du produit scalaire usuel et, pour \(f \in E\) : \(\varphi (f) = \int _{t=0}^{1/2} f(t)\,d t\).

  1. Montrer que \(\varphi\) est continue.

  2. Montrer que \(H = \mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi\) est fermé.

  3. Montrer que \(H^\perp = \{ 0\}\).


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[ID: 4536] [Date de publication: 11 avril 2024 14:58] [Catégorie(s): Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Orthogonal d’un hyperplan
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 14:58
  1. Soit \(g \in H^\perp\) non nulle. Les formes linéaires : \(f \mapsto \int _{0} ^{1/2} f\) et \(f \mapsto \int _{0} ^1 fg\) sont nulles sur \(H\), donc proportionnelles, ce qui est impossible pour \(g\) continue.


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