Soient \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(X,Y \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) tels que \(AX=\lambda X\), \({ }^tYA=\lambda { }^tY\), \({ }^tYX\neq 0\) et \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A-\lambda I_n)=n-1\). Montrer que \(\lambda\) est valeur propre simple de \(A\).

Indication : considérer \(E=\{ Z\in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\text{ tq }{ }^tYZ=0\}\). Quel lien y a-t-il entre \(A\) et \(E\) ?

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[ID: 4528] [Date de publication: 9 avril 2024 14:01] [Catégorie(s): Formes linéaires et produits scalaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines 2017
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 14:01

Comme \(X\neq 0\) (ou \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A-\lambda I_n)<n\)), \(\lambda\) est effectivement valeur propre de \(A\). L’ensemble \(E\) est \(Y^\perp\), c’est un hyperplan de \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) et la relation \({ }^tYA=\lambda { }^tY\) montre qu’il est stable par \(A\). De plus, \(X\not\in E\) donc \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{R}) = E \oplus 〈X〉\) et ces deux sous-espaces sont stables par \(A\), d’où \(\chi_A(x) = \chi_{A_{|E}}(x)(x-\lambda )\). Il n’y a plus qu’à prouver que \(\lambda\) n’est pas valeur propre de \(A_{|E}\) et ceci résulte des faits que le sous-espace propre est de dimension \(1\) et contient déjà \(X\).

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