1. Montrer qu’il existe des polynômes \(P_{0} ,\dots,P_n \in \mathbb{R}_n[X]\) tels que : \(\forall i,j\leq n\), \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}t^iP_j(t)\,d t = \delta _{ij}\).

  2. Montrer qu’il n’existe pas de suite de polynômes \((P_{0} ,\dots,P_n,\dots)\) telle que :

    \(\forall i,j\in \mathbb{N}\), \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}t^iP_j(t)\,d t = \delta _{ij}\).


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[ID: 4522] [Date de publication: 9 avril 2024 13:59] [Catégorie(s): Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Famille duale de \(1,X,X^2 ,\dots\)
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 13:59
  1. Soit \(P_{0} = Q_{0} '\). Par IPP on obtient \(Q_{0}\) est orthogonal à la famille \((jX^{j-1}-X^j)_{j\geq 1}\) qui est une base de \(\mathbb{R}[X]\) donc \(Q_{0} = 0 = P_{0}\) et \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}t^0 P_{0} (t)\,d t\neq \delta _{0,0}\).


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