Soit \(E\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de \(E\) telle qu’il existe \(A\) et \(B\) strictement positifs vérifiant : \[\forall x\in E,\ A\left\|x\right\|^2 \leq \sum_{j\in I}(x|y_j)^2 \leq B\left\|x\right\|^2 .\]

  1. Montrer que \((y_j)_{j\in I}\) engendre \(E\).

  2. On choisit \(E=\mathbb{R}^2\). Montrer que \(y_{1}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\), \(y_{2}=\begin{pmatrix}-\sqrt 3/2\\-1/2\end{pmatrix}\), \(y_{3} =y_{2}\) conviennent.

  3. Si \(A=B=1\) et \(\left\|y_j\right\|=1\) pour tout \(j\), montrer que \((y_j)_{j\in I}\) est une base orthonormale.

  4. Si \(A=B\), montrer que pour tout \(x\in E\), \(x=\dfrac1A\sum_{j\in I}(x|y_j)y_j\).


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[ID: 4519] [Date de publication: 9 avril 2024 13:58] [Catégorie(s): Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Polytechnique MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 13:58
  1. Le sev engendré a un orthogonal nul.

  2. N’importe quelle famille génératrice convient (équivalence des normes).

  3. \(1=\left\|y_i\right\|^2 = \left\|y_i\right\|^4 + \sum_{j\neq i}(y_i|y_j)^2 \Rightarrow \forall j\neq i,\ (y_i|y_j) = 0\).

  4. Par polarisation on a : \(\forall x,y\), \(\sum_{j\in I}(x|y_j)(y|y_j) = A(x|y)\) donc \(\sum_{j\in I}(x|y_j)y_j-Ax\in E^\perp\).


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