Soit \(E\) un ev euclidien, et \(e_{1},\dots,e_n\) des vecteurs unitaires tels que : \(\forall x\in E\), \(\left\|x\right\|^2 = \sum_{i=1}^n (x|e_i)^2\).

  1. Démontrer que \((e_{1},\dots,e_n)\) est une base orthonormale de \(E\).

  2. On remplace l’hypothèse : \(e_i\) unitaire par : \(\dim E = n\).

    1. Démontrer que \((e_{1},\dots,e_n)\) est une base de \(E\).

    2. Démontrer que : \(\forall x,y\in E\), \((x|y) = \sum_{i=1}^n (x|e_i)(y|e_i)\).

    3. On note \(G\) la matrice de Gram de \(e_{1},\dots,e_n\). Démontrer que \(G^2 = G\) et conclure.


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[ID: 4517] [Date de publication: 9 avril 2024 13:58] [Catégorie(s): Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Caractérisation des bases orthonormales
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 13:58
  1. \(\sum_{i=1}^n (e_j|e_i)^2 = 1 \Rightarrow\) famille orthonormée et \(\mathop{\rm vect}\nolimits(e_i)^\perp\) = \(\{ 0\}\).


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