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Produit scalaire ?
Soit \(E = \mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de \([a,b]\).
Pour \(f,g \in E\), on pose : \((f|g) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n}f(a_n)g(a_n)\).
A quelle condition sur la suite \((a_n)\) définit-on un produit scalaire ?
Soient \(a=(a_n)\) et \(b=(b_n)\) deux telles suites telles que les ensembles \(\{ a_n,n\in \mathbb{N}\}\) et \(\{ b_n,n\in \mathbb{N}\}\) sont distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes.
Question ouverte : à quelle condition les normes associées à deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont-elles équivalentes ?
Montrer qu’il n’existe pas de suite \((a_n)\) pour laquelle \(E\) soit complet.
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[ID: 4513] [Date de publication: 9 avril 2024 13:57] [Catégorie(s): Espaces préhilbertiens réels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Produit scalaire ?
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 13:57
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 13:57
\((a_n)\) est partout dense.
Si les \(a_n\) sont distincts, on choisit pour tout \(n\) une fonction \(f_n\) comprise entre \(0\) et \(1\) valant alternativement \(1\) et \(-1\) en \(a_{0} ,\dots,a_n\). Alors la suite \((f_n)\) est de Cauchy mais ne converge pas car si \(f_n\to f\) alors \(f^2 = 1\), absurde.
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