Soit \(E = \mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) et \(u:[a,b]\to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux. On pose pour \(f,g \in E\) : \((f|g) = \int _{t=a}^b u(t)f(t)g(t)\,d t\).

  1. A quelle condition sur \(u\) définit-on ainsi un produit scalaire ?

  2. Soient \(u,v\) deux fonctions convenables. A quelle condition les normes associées sont-elles équivalentes ?


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[ID: 4511] [Date de publication: 9 avril 2024 13:57] [Catégorie(s): Espaces préhilbertiens réels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Produit scalaire
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 13:57
  1. \(u\geq 0\) et \(u^{-1}(0)\) est d’intérieur vide.

  2. Il existe \(\alpha ,\beta > 0\) tels que \(\alpha u \leq v \leq \beta u\).


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