Soient \(E,F\) deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels normés, \(F\) étant complet. Soit \(f\) une application continue de \(E\) dans \(F\) telle qu’il existe \(M\in \mathbb{R}^+\) vérifiant : \[\forall x,y\in E,\ \left\|f(x+y)-f(x)-f(y)\right\|\leq M.\]

  1. Dans le cas \(M=0\) montrer que \(f\) est linéaire. Ce résultat subsiste-t-il si \(E\) et \(F\) sont des \(\mathbb{C}\)-ev ?

  2. On suppose \(M>0\). Soit pour \(x\in E\) et \(n\in \mathbb{N}\) : \(f_n(x) = 2^{-n}f(2^n x)\). Montrer que la suite \((f_n)\) converge simplement sur \(E\).

  3. On note \(g = \lim_{n\to \infty }f_n\). Montrer que \(g\) est une application linéaire continue et que c’est l’unique application linéaire telle que \(f-g\) soit bornée.

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[ID: 4467] [Date de publication: 21 mars 2024 21:25] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Fonction presque additive, Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:25

  1. \(f(rx) = rf(x)\) pour tout \(r\in \mathbb{N}\) par récurrence, puis pour tout \(r\in \mathbb{Z}\) par différence, pour tout \(r\in \mathbb{Q}\) par quotient et enfin pour tout \(r\in \mathbb{R}\) par densité. Dans le cas de \(\mathbb{C}\)-ev \(f\) est \(\mathbb{R}\)-linéaire mais pas forcément \(\mathbb{C}\)-linéaire, ctrex : \(z\mapsto \overline z\) de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\).

  2. \(\left\|f_{n+1}(x) - f_n(x)\right\|\leq M2^{-n-1}\) donc la série télescopique \(\sum(f_{n+1}(x) - f_n(x))\) est uniformément convergente.

  3. \(\left\|f_n(x+y) - f_n(x) - f_n(y)\right\|\leq M2^{-n}\) donc \(\left\|g(x+y) - g(x) - g(y)\right\|\leq 0\) et \(g\) est continue (limite uniforme des \(f_n\)) d’où \(g\) est linéaire continue. \(\left\|f(x) - g(x)\right\| = \left\|\sum_{k=0}^\infty (f_{k}(x) - f_{k+1}(x))\right\| \leq 2M\) donc \(f-g\) est bornée. Si \(h\) est une application linéaire telle que \(f-h\) est bornée alors \(g-h\) est aussi bornée ce qui entraîne \(g=h\) par linéarité.

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