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[ID: 4465] [Date de publication: 21 mars 2024 21:25] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Principe du maximum, ULM-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:25

On suppose \(P\) non constant, sans quoi le résultat est trivial. Soit \(S(X) = \sup(|P(x)|,\ x\in X)\). On a par inclusion et continuité : \(S(\mathop{\rm Fr}\nolimits(U))\leq S(\overline U) = S(U)\). Soit \(x\in \overline U\) tel que \(|P(x)| = S(\overline U)\). On démontre par l’absurde que \(x\in \mathop{\rm Fr}\nolimits(U)\), ce qui entraîne l’égalité demandée. Supposons donc \(x\in U\) et soit \(n=\deg(P)\). Alors pour \(\rho >0\) suffisament petit, et \(\theta \in \mathbb{R}\), on a \(x+\rho e^{i\theta }\in U\) et : \[P(x+\rho e^{i\theta }) = P(x) + \rho e^{i\theta }P'(X) + \dots+ \dfrac{\rho ^n e^{in\theta }}{n!}P^{(n)}(x).\] avec \(P^{(n)}(x) = P^{(n)}\neq 0\). On en déduit : \[2\pi |P(x)| = \Bigl|\int _{\theta =0}^{2\pi } P(x+\rho e^{i\theta })\,d \theta \Bigr| \leq \int _{\theta =0}^{2\pi } |P(x+\rho e^{i\theta })|\,d \theta \leq 2\pi S(U) = 2\pi |P(x)|.\] On en déduit que les inégalités sont des égalités, et en particulier que la quantité \(|P(x+\rho e^{i\theta })|\) est indépendante de \(\rho\) et \(\theta\). Il y a contradiction car \(|P(x+\rho e^{i\theta })|^2\) est un polynôme de degré \(2n\) en \(\rho\).