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[ID: 4463] [Date de publication: 21 mars 2024 21:25] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Une application polynomiale est fermée, ULM-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:25

Si \(f\) est constante c’est évident. Sinon, on a facilement \(|f(z)|\to _{|z|\to \infty }\infty\). Considérons un fermé \(F\) et une suite \((f(z_n))\) d’éléments de \(f(F)\) convergeant vers \(Z\in \mathbb{C}\). D’après la remarque, la suite \((z_n)\) est bornée, elle admet une valeur d’adhérence \(z\in F\) et \(Z=f(z)\in f(F)\).

Remarque : ce résultat est faux pour une fonction polynomiale sur \(\mathbb{C}^p\) avec \(p\geq 2\), prendre par exemple \(f(x,y) = x\) sur \(\mathbb{C}^2\) et \(F = \{ (x,y)\in \mathbb{C}^2\) tq \(xy=1\}\).