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[ID: 4461] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Racines de polynômes X MP\(^*\) 2004
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:24

1. Pour simplifier, on suppose \(z=0\) (sinon, se placer dans la base \((1,X-z,\dots,(X-z)^d)\) et invoquer l’équivalence des normes en dimension finie).

   Soit \(P_n(x) = a_{n,0} + a_{n,1}x + \dots+ a_{n,d}x^d\). La suite \((P_n)\) étant convergente est bornée donc il existe \(M\in \mathbb{R}\) tel que \(|a_{n,k}|\leq M\) pour tous \(n,k\). De plus, \(a_{n,0}\to _{n\to \infty } a_{0} =0\) et \(a_{n,1}\to _{n\to \infty }a_{1}\neq 0\).

   Posons alors \(Q_n(x) = -\dfrac{\strut a_{n,0} + a_{n,2}x^2 + \dots+ a_{n,d}x^d}{a_{n,1}}\) (bien défini si \(n\) est assez grand). On va montrer que \(Q_n\) vérifie les hypothèses du théorème du point fixe sur \(\overline{B(0,\delta )}\) pour tout \(n\) assez grand si \(\delta\) est choisi assez petit, ce qui implique l’existence et l’unicité d’une racine pour \(P_n\) dans \(\overline{B(0,\delta )}\).

   – \(Q_n(\overline{B(0,\delta )})\subset \overline{B(0,\delta )}\) ?

   Soit \(x\in \overline{B(0,\delta )}\) : on a \(|Q_n(x)|\leq \dfrac{|a_{n,0}| + M(\delta ^2 +\dots+\delta ^d)}{|a_{n,1}|} \to _{n\to \infty }\dfrac{M(\delta ^2 +\dots+\delta ^d)}{|a_{1}|}\). On choisit \(\delta >0\) tel que \(\dfrac{M(\delta +\dots+\delta ^{d-1})}{|a_{1}|}\leq \dfrac12\). Il existe alors \(N_{1}\in \mathbb{N}\) tel que \(\dfrac{|a_{n,0}| + M(\delta ^2 +\dots+\delta ^d)}{|a_{n,1}|}\leq \delta\) pour tout \(n\geq N_{1}\).

   – \(Q_n\) est contractante sur \(\overline{B(0,\delta )}\) ?

   Soient \(x,y\in \overline{B(0,\delta )}\). On a : \[\begin{aligned} |Q_n(x)-Q_n(y)| &\leq \dfrac{|a_{n,2}||x^2 -y^2 |+\dots+|a_{n,d}||x^d-y^d|}{|a_n,1|}\\ &\leq |x-y|\dfrac{|a_{n,2}||x+y|+\dots+|a_{n,d}||x^{d-1}+\dots+y^{d-1}|}{|a_{n,1}|}\\ &\leq |x-y|\dfrac{M(2\delta +\dots+d\delta ^{d-1})}{|a_{n,1}|}. \end{aligned}\] Quitte à diminuer \(\delta\) on peut imposer \(\dfrac{M(2\delta +\dots+d\delta ^{d-1})}{|a_{1}|}\leq \dfrac12\) et donc \(\dfrac{M(2\delta +\dots+d\delta ^{d-1})}{|a_{n,1}|}\leq \dfrac23\) pour tout \(n\geq N_{2}\) et \(Q_n\) est \(\frac{2}{3}\)-lipschitzienne.

2. Voir réponse précédente. Y a-t-il une réponse plus simple pour 1 ?

3. Si \(z\) est zéro d’ordre \(k\) de \(P\) alors il existe \(\delta >0\) tel que pour tout \(n\) assez grand, \(P_n\) a exactement \(k\) racines comptées avec leur ordre de multiplicité dans \(\overline{B(0,\delta )}\). Ceci est une conséquence du théorème des résidus largement hors programme