Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit \(f:C\to C\), \(1\)-lipschitzienne. Montrer que \(f\) admet un point fixe. On pourra utiliser la fonction \(f_n:x\mapsto \frac1n a + (1-\frac1n)f(x)\) avec \(a\in C\).

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[ID: 4457] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Application presque contractante (Polytechnique MP\(^*\) 2000, Mines MP 2003)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:24

\(C\) est stable par \(f_n\) qui est \((1-\frac1n)\)-lipschitzienne. Donc il existe \(x_n\in C\) tel que \(f_n(x_n) = x_n\) ; toute valeur d’adhérence de \((x_n)\) est point fixe de \(f\).

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