Lecture zen
**
Application presque contractante
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et \(f:A\to A\) telle que : \[\forall x,y\in A,\ x\neq y \Rightarrow d(f(x),f(y)) < d(x,y).\]
Montrer que \(f\) admet un point fixe unique, \(a\).
Soit \((x_n)\) une suite d’éléments de \(A\) telle que \(x_{n+1} = f(x_n)\). Montrer qu’elle converge vers \(a\).
Barre utilisateur
[ID: 4455] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Application presque contractante
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:24
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:24
\(d(x_n,a)\) décroit, donc tend vers \(d\). Il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) convergeant vers \(l\) et \(d(l ,a) = d\). La suite \((f(x_{n_k}))\) converge vers \(f(l )\) et \(d(f(l ),a) = d\), donc \(l = a\). Il y a une seule valeur d’adhérence, donc la suite converge.
Documents à télécharger
L'exercice