Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f:E\to E\) une fonction \(k\)-lipchitzienne avec \(k < 1\). On choisit \(u_{0} \in E\) arbitrairement, et on considère la suite \((u_n)\) telle que pour tout \(n\) : \(u_{n+1} = f(u_n)\).

  1. Montrer que \(\left\|u_{n+1} - u_n\right\|\leq k^n \left\|u_{1} - u_{0} \right\|\).

  2. En déduire que la suite \((u_n)\) est de Cauchy.

  3. Soit \(l = \lim(u_n)\). Montrer que \(l\) est l’unique solution dans \(E\) de l’équation \(f(x) = x\).


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[ID: 4452] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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