Lecture zen
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Ouverts et non ouverts
Soit \(E = \mathbb{R}[X]\). Pour \(P\in E\), on pose : \(\begin{cases} N_{1}(P) = \sup(|P(t)|\text{ tq }0\leq t\leq 1 )\\ N_{2}(P) = \sup(|P(t)|\text{ tq }1\leq t\leq 2 )\\ \varphi (P) = P(0). \\ \end{cases}\)
Vérifier que \(N_{1}\) et \(N_{2}\) sont des normes.
Montrer que \(\varphi\) est continue pour \(N_{1}\).
Montrer que \(\varphi\) est discontinue pour \(N_{2}\) (considérer \(P_n(t) = (1-t/2)^n\)).
\(N_{1}\) et \(N_{2}\) sont-elles équivalentes ?
Soit \(\mathcal O = \{ P\in E\text{ tq }P(0)\neq 0 \}\). Montrer que \(\mathcal O\) est ouvert pour \(N_{1}\) mais pas pour \(N_{2}\).
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[ID: 4451] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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