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Fonctions homogènes
On note \(\Omega = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0)\}\) et \(D = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \text{ tq }0 < x^2 +y^2 \leq 1 \}\). Soit \(f:\Omega \to \mathbb{R}\). On dit que \(f\) est positivement homogène de degré \(\alpha\) si :
\[\forall (x,y)\in \Omega ,\ \forall t > 0,\ f(tx,ty) = t^\alpha f(x,y).\]
Donner des exemples de telles fonctions pour \(\alpha = 1,0,-2,{1/2}\).
Soit \(f\) continue, positivement homogène de degré \(\alpha\). Montrer que si \(\alpha \geq 0\), \(f\) est bornée sur \(D\) et que si \(\alpha > 0\), \(f\) admet une limite finie en \((0,0)\). Examiner les cas \(\alpha = 0\), \(\alpha < 0\).
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[ID: 4448] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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