Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f:E\to \mathbb{R}\) continue. On suppose que \(f(x) \to _{\left\|x\right\|\to \infty } +\infty\), c’est à dire : \[\forall A\in \mathbb{R},\ \exists B\in \mathbb{R}\text{ tq }\forall x\in E,\ \left\|x\right\| \geq B \Rightarrow f(x)\geq A.\]

  1. On prend \(A = f(0)\) et \(B\) le nombre correspondant.

    Montrer que \(\inf\{ f(x)\text{ tq }x\in E\} = \inf\{ f(x)\text{ tq }\left\|x\right\|\leq B \}\).

  2. En déduire que \(f\) admet un minimum.

  3. Exemple : soit \(E = \mathbb{R}_n[X]\) et \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) bornée.

    Montrer qu’il existe \(P\in E\text{ tq }\left\|f-P\right\|_\infty = \sup\{ |f(t)-P(t)|\text{ tq }t\in {[a,b]} \}\) soit minimal (\(P\) est appelé : un polynôme de meilleure approximation de \(f\) sur \([a,b]\)).

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[ID: 4447] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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