Soient \(E\), \(F\) deux espaces vectoriels normés et \(f:E\to F\).

Montrer que \(f\) est continue

si et seulement si : \(\forall A \subset E,\ f(\overline A) \subset \overline{f(A)}\)

si et seulement si : \(\forall B \subset F,\ f^{-1}( \overset{\circ}{B} ) \subset f^{-1}(B)^\circ\).


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[ID: 4437] [Date de publication: 21 mars 2024 21:24] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Caractérisation des fonctions continues
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:24

Si \(f\) est continue :

soit \(x\in \overline A\) : \(x = \lim a_n \Rightarrow f(x) = \lim f(a_n)\in \overline{f(A)}\).

soit \(x\in f^{-1}(B)^\circ\) : \(\exists B(f(x),r) \subset B\), \(\exists \delta > 0 \text{ tq }f(B(x,\delta )) \subset B(f(x),r)\Rightarrow B(x,\delta ) \subset f^{-1}(B)\).

Si \(f(\overline A) \subset \overline{f(A)}\) : soit \(B \subset F\) fermé et \(A = f^{-1}(B)\) : \(f(\overline A) \subset B\) donc \(\overline A \subset A\).

Si \(f^{-1}( \overset{\circ}{B} ) \subset f^{-1}(B)^\circ\) : soit \(B \subset F\) ouvert et \(A = f^{-1}(B)\) : \(\overset{\circ}{A} \supset f^{-1}( \overset{\circ}{B} ) = A\).


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