Barre utilisateur

[ID: 4435] [Date de publication: 21 mars 2024 21:22] [Catégorie(s): Connexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Complémentaire d’un hyperplan (Ens Ulm MP\(^*\) 2005)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:22

Le sens \(H\) est fermé \(\Rightarrow\) \(E\setminus H\) n’est pas connexe (par arcs) est évident. Réciproquement, si \(H\) n’est pas fermé alors \(\overline H = E\). Soient \(a,b\in E\setminus H\) et \((x_n)\) une suite d’éléments de \(H\) telle que \(x_{0} = 0\) et \(x_n\to _{n\to \infty }a-b\). On définit un arc continu \(\varphi :[0,1]\to E\setminus H\) reliant \(a\) à \(b\) par : \(\varphi\) est affine sur \([\frac1{n+2},\frac1{n+1}]\), \(\varphi (\frac1{n+1})=b+x_n\) et \(\varphi (0)=a\).