Soit \(E\) un evn de dimension supérieure ou égale à \(2\) et \(A,B\) deux parties de \(E\) telles que \(A\) est ouvert non vide, \(B\) est fini et \(A\cup B\) est fermé. Montrer que \(A\cup B = E\).

Barre utilisateur

[ID: 4433] [Date de publication: 21 mars 2024 21:22] [Catégorie(s): Connexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Ouvert presque fermé.
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:22

\(E\setminus B\) est connexe par arcs et contient au moins un point \(a\in A\). Soit \(x\in E\setminus B\) et \(\varphi :[0,1]\to E\setminus B\) un arc continu joignant \(a\) à \(x\) dans \(E\setminus B\). Alors \(\varphi ^{-1}(A) = \varphi ^{-1}(A\cup B)\) est non vide, relativement ouvert et relativement fermé dans \([0,1]\), donc c’est \([0,1]\) ce qui prouve que \(x\in A\).

Documents à télécharger

Ouvert presque fermé.
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice