Montrer qu’un plan euclidien n’est pas réunion de cercles disjoints non réduits à un point. Indication : considérer les disques fermés associée à un recouvrement circulaire du plan et mettre en évidence une suite de disques emboités dont les rayons tendent vers zéro.

Barre utilisateur

[ID: 4422] [Date de publication: 21 mars 2024 21:22] [Catégorie(s): Connexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:22

Supposons qu’il existe une famille \((\mathcal C _i = \mathcal C (a_i,R_i))_{i\in I}\) de cercles disjoints dont la réunion est égale au plan \(P\). On note \(D_i\) le disque fermé de frontière \(\mathcal C _i\). Soit \(i_{0} \in I\) choisi arbitrairement, \(i_{1}\) tel que \(a_{i_{0} }\in \mathcal C _{i_{1}}\), \(i_{2}\) tel que \(a_{i_{1}}\in \mathcal C _{i_{2}}\) etc. On a \(R_{i_k} < {1/2}R_{i_{k-1}}\) donc la suite \((D_{i_k})\) vérifie le théorème des fermés emboités, l’intersection des \(D_{i_k}\) est réduite à un point \(x\) par lequel ne passe aucun cercle \(\mathcal C _j\).

Documents à télécharger

Centrale MP 2001
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice