Soit \(E\) un espace vectoriel normé complet et \((F_n)\) une suite de fermés de \(E\) d’intérieurs vides. On pose \(\smash{F = \bigcup _n F_n}\). Montrer que \(\overset{\circ}{F} = \emptyset\).

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[ID: 4420] [Date de publication: 21 mars 2024 21:21] [Catégorie(s): Complétude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Théorème de Baire
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:21

Soit \(a\in \overset{\circ}{F}\) et \(B(a,r) \subset \bigcup _n F_n\) : \(B \setminus F_{1}\) est un ouvert non vide donc contient une boule \(B_{1}(a_{1},r_{1})\). De même, \(B_{1} \setminus F_{2}\) contient une boule \(B_{2}(a_{2},r_{2})\) etc. On peut imposer \(r_n \to _{n\to \infty } 0\), donc il existe \(c\in \bigcap_n B_n\), c.a.d. \(c\in B\) mais pour tout \(n\), \(c \not\in F_n\). Contradiction.

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