Barre utilisateur

[ID: 4416] [Date de publication: 21 mars 2024 21:19] [Catégorie(s): Compacité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Spectre compact ? ENS 2014
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:19

Si \((\lambda _p)\) est une suite d’éléments de \(\sigma (K)\), on considère \(M_p\in K\) telle que \(\lambda _p\in \mathop{\rm sp}\nolimits(M_p)\), \(X_p\in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{C})\) de norme \(1\) (pour une norme fixée sur \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{C})\)) tel que \(M_pX_p=\lambda _pX_p\) et on extrait des sous-suites \((M_{\varphi (p)})\) convergeant vers \(M\in K\) et \((X_{\varphi (p)})\) convergeant vers \(X\) de norme \(1\). La suite \((M_{\varphi (p)}X_{\varphi (p)})\) converge vers \(MX\) et \(\mathop{\rm rg}\nolimits(M_{\varphi (p)}X_{\varphi (p)},X_{\varphi (p)})=1\) donc à la limite \(\mathop{\rm rg}\nolimits(MX,X)\leq 1\) car tous les déterminants \(2\times 2\) extraits de \((MX,X)\) sont nuls. Ainsi \(X\) est vecteur propre de \(M\) et en examinant une coordonnée non nulle de \(X\), on obtient \(\lambda _{\varphi (p)}\to _{p\to \infty }\lambda\), la valeur propre associée.

Si \(K\) est seulement fermé alors \(\sigma (K)\) ne l’est pas nécessairement. Par exemple si \(K=\{ M\text{ tq }\det(M)=1\}\) alors \(\sigma (K)=\mathbb{C}^*\) pour \(n\geq 2\) et \(\sigma (K)=\mathbb{R}^*\) pour \(n=1\).