Soit \(E\) l’espace des suites \(a\in \mathbb{R}^\mathbb{N}\) telles que \(\sum|a_i|\) converge, muni de la norme définie par \[\left\|a\right\|_\infty =\sup\{ |a_i|,\ i\in \mathbb{N}\} .\] Soit \(F\) le sous-ensemble des suites \(a\) telles que \(\sum|a_i|=1\). \(F\) est-il ouvert ? fermé ? compact ? borné ?

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[ID: 4411] [Date de publication: 21 mars 2024 21:18] [Catégorie(s): Compacité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\sum|a_i|=1\), Mines MP 2010
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:19

Non ouvert : prendre une suite \(a\in F\) et augmenter légèrement \(|a_{0} |\).

Non fermé : prendre \(a\in F\) et la remplacer par \((a_{0} /2,a_{0} /2,a_{1}/2,a_{1}/2,\dots)\). En itérant on obtient une suite d’éléments de \(F\) convergeant vers la suite nulle.

Non compact : car non fermé.

Borné : \(a\in F\Rightarrow \left\|a\right\|_\infty \leq 1\).

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