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Ensemble compact de suites
Soit \(E = \mathcal B (\mathbb{N},\mathbb{R}) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ bornées}\}\). On munit \(E\) de la norme : \(\left\|u\right\| = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n}|u_n|\). Montrer que \(A = \{ u\in E \text{ tq }\forall n\in \mathbb{N},\ 0\leq u_n\leq 1\}\) est compact.
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[ID: 4409] [Date de publication: 21 mars 2024 21:18] [Catégorie(s): Compacité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Ensemble compact de suites
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:18
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:18
Soit \((u^n)\) une suite de suites éléments de \(A\) : \(u^n = (u^n_k)\). On peut trouver une sous-suite \((u^{n_{p_{0} }})\) telle que \((u^{n_{p_{0} }}_{0} )\) converge vers \(u_{0} \in {[0,1]}\), puis une sous-suite \((u^{n_{p_{1}}})\) telle que \((u^{n_{p_{1}}}_{0} ,u^{n_{p_{1}}}_{1})\) converge vers \((u_{0} ,u_{1})\in {[0,1]}^2\), etc. Alors la suite \((u^{n_{p_k}})_k\) converge dans \(A\) vers \((u_{0} ,u_{1},\dots)\).
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