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[ID: 4366] [Date de publication: 21 mars 2024 21:04] [Catégorie(s): Normes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Polytechnique MP\(^*\) 2006
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:04

1. On prouve la convexité de \(B\). Soient \(x,y\in B\), \(t\in {[0,1]}\) et \(z=(1-t)x + ty\). On a \(N^2 (z)\leq 2t^2 + 2(1-t)^2\), d’où \(N(z)\leq 1\) si \(t={1/2}\). Ceci prouve déjà que \(B\) est stable par milieu, et on en déduit par récurrence sur \(n\in \mathbb{N}\) que \(z\in B\) si \(t\) est de la forme \(a/2^n\) avec \(a\in {\llbracket 0,2^n\rrbracket }\). Si \(t\) n’est pas de cette forme, on écrit \(t\) comme barycentre de deux nombres dyadiques \(t=u\dfrac{a}{2^n } + (1-u)\dfrac{b}{2^n }\) en faisant en sorte que \(u\) soit arbitrairement proche de \({1/2}\). Si c’est possible, on obtient que \(z\) est barycentre de deux éléments de \(B\) avec les coefficients \(u\) et \(1-u\), d’où \(N^2 (z)\leq 2u^2 +2(1-u)^2 \to _{u\to {1/2}}1\). Reste donc à choisir \(n\), \(a\), \(b\) : pour \(n\) donné, on choisit \(a = {[2^n ]}-n\) et \(b={[2^n ]}+n\). C’est possible car \([2^n t]\sim 2^n t\) et on est dans le cas \(0<t<1\) donc on a bien \(a,b\in {\llbracket 0,2^n\rrbracket }\) si \(n\) est suffisament grand. Il vient \(u=\dfrac{b-2^n t}{b-a}\), quantité comprise entre \(\frac{n-1}{2n}\) et \({1/2}\) et donc qui tend bien vers \({1/2}\).

   Remarque : la condition \((iii)\) est aussi nécessaire, donc une norme est une application vérifiant \((i)\), \((ii)\) et \((iii)\).