Barre utilisateur

[ID: 4363] [Date de publication: 21 mars 2024 21:04] [Catégorie(s): Normes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Comparaison de normes, ENS MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:04

1. \(2^n \sum_{i=1}^n \left\|u_i\right\|^2\).

2. Supposons qu’il existe une norme euclidienne \(\left\|\ \right\|\) et deux réels \(\alpha ,\beta >0\) tels que \(\alpha \left\|u\right\|_\infty \leq \left\|u\right\|\leq \beta \left\|u\right\|_\infty\) pour tout \(u\in \mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\). On pose \(u(x) = 1-2|x|\) pour \(x\in [-{1/2},{1/2}]\) et \(u(x) = 0\) sinon. Soit \(n\in \mathbb{N}\) et pour \(1\leq i\leq n\) : \(u_i(x) = u((n+1)x-i)\). Alors \(\sum_\sigma \left\|\sum_{i=1}^n \sigma (i)u_i \right\|^2 \leq 2^n \beta ^2\) et \(2^n \sum_{i=1}^n \left\|u_i\right\|^2 \geq 2^n n\alpha ^2\) donc ces deux sommes ne peuvent rester égales quand \(n\to \infty\).

3. Même construction. On trouve \[\sum_\sigma \left\|\sum_{i=1}^n \sigma (i)u_i \right\|^2 \leq 2^n \beta ^2 \left\|u\right\|_p^2 \Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{2/p}\] et \(2^n \sum_{i=1}^n \left\|u_i\right\|^2 \geq 2^n \alpha ^2 \left\|u\right\|_p^2 \dfrac{n}{(n+1)^{2/p}}\).