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Normes produit
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E\times F\). On pose pour \(u = (x,y)\in G\) : \[\left\|u\right\|_{1} = \left\|x\right\|_E + \left\|y\right\|_F,\quad \left\|u\right\|_{2} = \sqrt{\left\|x\right\|_E^2 + \left\|y\right\|_F^2 },\quad \left\|u\right\|_\infty = \max(\left\|x\right\|_E , \left\|y\right\|_F).\]
Montrer que ce sont des normes sur \(G\) et qu’elles sont deux à deux équivalentes (sans hypothèse de dimension finie).
On prend \(E=F\). Montrer que pour chacune de ces normes, l’application \(: G \rightarrow E, (x,y) \mapsto x+y\) est continue.
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[ID: 4357] [Date de publication: 21 mars 2024 21:04] [Catégorie(s): Normes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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