Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) (ie. il manque juste l’axiome \(p(A)=0\Rightarrow A=0\)). On suppose de plus que \(\forall (A,B)\in (\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}}) )^2\), \(p(AB)\leq p(A)p(B)\). Montrer que \(p=0\) ou \(p\) est en fait une norme.

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[ID: 4355] [Date de publication: 21 mars 2024 21:04] [Catégorie(s): Normes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Semi-norme
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:04

Si \(A\) est une matrice de rang \(r>0\) telle que \(p(A) = 0\) alors pour toute matrice \(M\) de rang \(<r\) on peut trouver \(P\) et \(Q\) telles que \(M=PAQ\) d’où \(P(M)=0\). Donc \(p\) est nulle sur toute matrice de rang \(1\) et par inégalité triangulaire sur toute matrice.

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